奇异值分解

奇异值分解不唯一

预备知识

对于酉矩阵A，有

$$A^T=A^{-1} ----A^TA=I$$

对称矩阵可以对角化的话，一定是实数特征，特征向量正交

对于$A^TA$，它是对称矩阵，且其特征值都为为负（可能等于0，0也有特征向量）

奇异值分解

对于任意矩阵$A_{m*n}$（课上讲的是m>n），存在：

$$A=U \sum V^{H}$$

其中U，V都是酉矩阵，因此有：

$$AV=U\sum$$

计算方法

原理：(这里用到的是奇异值分解，和特征值分解没啥关系)

$$A^HA=(U\sum V^H)^H(U\sum V^H)=V{\sum}^H\sum V^H$$

所以V是$A^HA$的特征向量，奇异值是上面的特征值开平方，

对于奇异值非零，U是$u_j=frac{1}{\sigma_j}Av_j$。

对于奇异值是零，U是$A^Hu_j=0$齐次线性方程组的解。